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Loxodrome

 
     
  Kurve auf der Kugeloberfläche, die, in einem Punkt P unter dem Azimut γ beginnend, alle Meridiane unter dem Winkel γ schneidet. Jede Loxodrome, deren Azimut γ nicht die Werte 0º oder 90º annimmt, ist keine geschlossene, in sich selbst zurückkehrende Kurve. Für γ = 0º ist der Meridian zugleich Loxodrome. Für γ =90º bilden der Parallelkreis sowie auch der Äquator die Loxodrome. Unter jedem anderen Schnittwinkel γ gegen den Meridian des Anfangsortes beginnende Loxodromen winden sich unter konstantem Winkel γ spiralförmig um die Erdkugel und nähern sich dem Pol. Der Schnittwinkel oder Kurswinkel der Loxodrome zwischen zwei Oberflächenpunkten A und B sowie die loxodromische Distanz AB ergeben sich durch Integration einer Differentialgleichung, die aus dem Differentialdreieck (Abb.) aufgestellt wird, das aus dem Poldreieck (geographische Koordinaten) hervorgeht. In der Abbildung gilt:

LoxodromeDurch Trennung der Variablen erhält man die Differentialgleichung:

Loxodromedie leicht integriert werden kann:

LoxodromeDer Ausdruck dφ/cosφ ist das Differential der isometrischen Breite. Er wird mit dem Symbol dq bezeichnet. Das Einsetzen in die vorherige Gleichung und Integration ergibt:

LoxodromeAus einer Integralsammlung entnimmt man:

LoxodromeDaraus erhält man für den Kurswinkel γ der Loxodrome von A nach B tanγ = Δλ/Δq. Die loxodromische Distanz AB= σ leitet man ebenfalls aus der Abbildung ab. Es gilt:

LoxodromeDie einfache Integration von A bis B ergibt für die Länge der Loxodrome:

LoxodromeDie Loxodrome ist von grosser Bedeutung für die Navigation. Offensichtlich ist es ein Vorteil, ein Fahrzeug mit konstantem Richtungswinkel zu steuern. Allerdings muss gegenüber der Orthodrome, die die kürzeste Verbindung zwischen A und B ist, eine Verlängerung des Weges in Kauf genommen werden. Im Mercatorentwurf kann der Kurswinkel γ zwischen zwei Punkten der Karte direkt entnommen werden, da hier die Loxodrome als Gerade abgebildet wird.

LoxodromeLoxodrome: Differentialdreieck zur Ableitung von Kurswinkel und Länge der Loxodrome.
 
 

 

 

 
 
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