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geodätische Linie

 
     
  Kurve, deren geodätische Krümmung κg (Kurventheorie) in jedem Punkt verschwindet. Durch jeden Punkt einer stetig gekrümmten Fläche F verläuft genau eine geodätische Linie mit vorgegebener Richtung. Die kürzeste, stetig gekrümmte Verbindungslinie zwischen zwei Punkten auf F ist stets ein Stück einer geodätischen Linie. Bezeichnet man die Flächenkoordinaten 1


auf F mit (u,v)=(u,u2), so entspricht die Forderung κg = 0 der Differentialgleichung der geodätischen Linie:

geodätische Liniewobei d/ds die Ableitung nach der Bogenlänge s bezeichnet. Entsprechend der Einsteinschen Summationskonvention wird über gleiche Indizes (α,β,γ{1,2}) summiert. Γαβγ sind die Christoffelsymbole. In der Theorie der Landesvermessung treten geodätische Linien als Flächenkurven auf der Fläche eines Rotationsellipsoids oder einer Kugel auf; geodätische Linien auf der Kugeloberfläche sind 1


immer Bogenstücke von Grosskreisen. Identifiziert man die Flächenparameter (u,u2) mit den geographischen Koordinaten (B,L), so wird die geodätische Linie durch das Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung: beschrieben. Mit dem Azimut der geodätischen Linie sind diese Formeln dem Differentialgleichungssystem erster Ordnung:

geodätische Linie
geodätische Linieäquivalent. In diesen Gleichungen bezeichnen M und N den Meridian- bzw. Querkrümmungsradius:

geodätische Linieim betrachteten Punkt der geodätischen Linie mit:


2 =V2 = 1+e'2 cos2B, e'(a2-b2)/b2 , c = a2/b


für das Rotationsellipsoid mit der grossen (äquatorialen) Halbachse a und der kleinen (polaren) Halbachse b. Die erste geodätische Hauptaufgabe ist das Problem, aus gegebenen Anfangswerten einer geodätischen Linie die geographischen Koordinaten des Endpunktes sowie das Azimut derselben geodätischen Linie zu bestimmen, (Anfangswertproblem der geodätischen Linie). Die hierzu inverse Aufgabe, aus gegebenen Grössen die Länge der geodätischen Linie sowie deren Azimute abzuleiten, heisst zweite geodätische Hauptaufgabe oder Randwertproblem der geodätischen Linie.
 
 

 

 

 
 
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