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Wellengleichung

 
     
  1) beschreibt die Ausbreitung von Wellen als Funktion von Ort und Zeit. Für
eine in x-Richtung laufende Welle u gilt: u=Asin(kx-ωt+).
Hierbei ist A die Amplitude, k die Wellenzahl, x die Ortskoordinate, ω die Kreisfrequenz, t die Zeit und
der Phasenwinkel. Für die Periode T, Frequenz f und Wellenlänge λ gelten: T=1/f=2π/ω,
λ=2π/k.
Die durch konstante Werte von kx-ωt definierten Punkte haben die gleichen Werte für u, sie bilden die Wellenfront. Sie breiten sich in x-Richtung mit der Phasengeschwindigkeit:
v=ω/k=λ/T
aus. Durch Einführen von v in obige Gleichung und nach zweimaligem Differenzieren nach x und t
erhält man die eindimensionale Wellengleichung: 2∂2u/∂t2=v22u/∂x. Sie lässt sich leicht auf die Ausbreitung ebener Wellen (d.h. die Wellenfronten sind ebene Flächen) im dreidimensionalen x,y,z-Koordinatensystem erweitern. Ersetzen muss man den Term kx durch das Skalarprodukt von Wellenzahlvektor Wellengleichung
=(kx,ky,kz) mit dem Ortsvektor Wellengleichung
=(x,y,z) und den eindimensionalen Operator2/∂x2 durch ∂2/∂x2+∂2/∂y2+∂2/∂z2. Der Wellenzahlvektor zeigt in Ausbreitungsrichtung der ebenen Welle. Durch Superposition von ebenen Wellen lassen sich Kugelwellen berechnen. Ähnliche Wellengleichungen gelten für die Ausbreitung von P- und S-Wellen durch elastische, homogene und isotrope Körper (Kontinuumsmechanik). Dabei wird u bei P-Wellen durch ein Skalarpotential φ und für S-Wellen durch ein Vektorpotential Ψ ersetzt. Aus den Potentialen lassen sich die Partikelverschiebungen berechnen. Die Geschwindigkeit v steht dann für die P- und S-Wellengeschwindigkeit im elastischen Medium.


2) Beziehung für das raum-zeitliche Verhalten von physikalischen Feldgrössen. In der Elektrodynamik folgt z.B. aus den Maxwellschen Gleichungen die Telegraphengleichung für die elektrische Feldstärke Wellengleichung
oder die Induktionsflussdichte Wellengleichung
(zusammenfassend mit Wellengleichung
bezeichnet):

WellengleichungDabei ist μ die Permeabilität, die Permittivität und σ die elektrische Leitfähigkeit. Der 1. Term der Gleichung kennzeichnet eine Diffusion des Feldes, der 2. eine Wellenausbreitung. Das relative Gewicht der beiden Terme wird durch den Verlustwinkel θ beschrieben:

Wellengleichungibt die Ausbreitung von Wellen als Funktion von Ort und Zeit. Für
eine in x-Richtung laufende Welle u gilt: u=Asin(kx-ωt+).
Hierbei ist A die Amplitude, k die Wellenzahl, x die Ortskoordinate, ω die Kreisfrequenz, t die Zeit und
der Phasenwinkel. Für die Periode T, Frequenz f und Wellenlänge λ gelten: T=1/f=2π/ω,
λ=2π/k.
Die durch konstante Werte von kx-ωt definierten Punkte haben die gleichen Werte für u, sie bilden die Wellenfront. Sie breiten sich in x-Richtung mit der Phasengeschwindigkeit:
v=ω/k=λ/T
aus. Durch Einführen von v in obige Gleichung und nach zweimaligem Differenzieren nach x und t
erhält man die eindimensionale Wellengleichung: 2∂2u/∂t2=v22u/∂x. Sie lässt sich leicht auf die Ausbreitung ebener Wellen (d.h. die Wellenfronten sind ebene Flächen) im dreidimensionalen x,y,z-Koordinatensystem erweitern. Ersetzen muss man den Term kx durch das Skalarprodukt von Wellenzahlvektor Wellengleichung
=(kx,ky,kz) mit dem Ortsvektor Wellengleichung
=(x,y,z) und den eindimensionalen Operator2/∂x2 durch ∂2/∂x2+∂2/∂y2+∂2/∂z2. Der Wellenzahlvektor zeigt in Ausbreitungsrichtung der ebenen Welle. Durch Superposition von ebenen Wellen lassen sich Kugelwellen berechnen. Ähnliche Wellengleichungen gelten für die Ausbreitung von P- und S-Wellen durch elastische, homogene und isotrope Körper (Kontinuumsmechanik). Dabei wird u bei P-Wellen durch ein Skalarpotential φ und für S-Wellen durch ein Vektorpotential Ψ ersetzt. Aus den Potentialen lassen sich die Partikelverschiebungen berechnen. Die Geschwindigkeit v steht dann für die P- und S-Wellengeschwindigkeit im elastischen Medium.


2) Beziehung für das raum-zeitliche Verhalten von physikalischen Feldgrössen. In der Elektrodynamik folgt z.B. aus den Maxwellschen Gleichungen die Telegraphengleichung für die elektrische Feldstärke Wellengleichung
oder die Induktionsflussdichte Wellengleichung
(zusammenfassend mit Wellengleichung
bezeichnet):

WellengleichungDabei ist μ die Permeabilität, die Permittivität und σ die elektrische Leitfähigkeit. Der 1. Term der Gleichung kennzeichnet eine Diffusion des Feldes, der 2. eine Wellenausbreitung. Das relative Gewicht der beiden Terme wird durch den Verlustwinkel θ beschrieben:

Wellengleichung
 
 

 

 

 
 
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