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Kugelfunktionsentwicklung des Gravitationspotentials

 
     
  Spektraldarstellung des Gravitationspotentials, Multipol-Entwicklung des Gravitationsfeldes; Darstellung des Gravitationspotentials im Aussenraum der Erde durch eine unendliche Reihe von Kugelfunktionen:

Kugelfunktionsentwicklung des GravitationspotentialsDie Funktionen Yn(θ,λ) sind die Laplaceschen Kugelflächenfunktionen vom Grad n, die sich aus einer Linearkombination von (vollständig normierten) Kugelflächenfunktionen des Grades n und der Ordnungen m=0,1,...,n,


Kugelfunktionsentwicklung des Gravitationspotentials
(θ,λ) und Kugelfunktionsentwicklung des Gravitationspotentials
(θ,λ), zusammensetzen:


nmnmKugelfunktionsentwicklung des GravitationspotentialsFür die Grössen a und M wählt man den mittleren Äquatorradius und die Gesamtmasse der Erde aus. Eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz der Reihe ergibt sich für r > R, wobei R der Radius einer Kugel ist, die sämtliche Massen einschliesst. Die Koeffizienten Kugelfunktionsentwicklung des Gravitationspotentials
nm und Kugelfunktionsentwicklung des Gravitationspotentials
nm werden als (vollständig normierte) Potentialkoeffizienten bezeichnet. Durch die Kugelfunktionsentwicklung ist die Beschreibung des Gravitationspotentials in eine Richtungsabhängigkeit und eine radiale Abhängigkeit aufgespalten. Die Richtungsabhängigkeit des Gravitationspotentials wird durch die Struktur der Kugelflächenfunktionen beschrieben, deren Gewichtung geschieht durch die Potentialkoeffizienten. Das Abklingen der spektralen Anteile des Gravitationspotentials vom Grad n kommt durch die Gradvarianzen zum Ausdruck; es folgt genähert "Kaula's rule of thumb". Mit wachsendem Grad weist die Reihensumme zunehmende Details auf (Abb. 1). Die radiale Abhängigkeit des Gravitationspotentials für Feldpunkte mit zunehmender Entfernung von der Erde kommt durch den Dämpfungsfaktor (a/r)n+1 zum Ausdruck. Einen Eindruck von der Dämpfung des Gravitationspotentials mit zunehmender Entfernung von der Erde gibt die Abbilldung 2.

Kugelfunktionsentwicklung des GravitationspotentialsKugelfunktionsentwicklung des Gravitationspotentials 1: Approximation des Gravitationspotentials in Abhängigkeit vom oberen Summationsindex n (überhöhte Funktionswerte unterschiedlichen Massstabes).

Kugelfunktionsentwicklung des GravitationspotentialsKugelfunktionsentwicklung des Gravitationspotentials 2: Dämpfung des Gravitationspotentials mit zunehmender Entfernung von der Erde (relative Darstellung mit überhöhten Funktionswerten).
 
 

 

 

 
 
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