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Kugelfunktionen

 
     
  Funktionen Pnm (t) (Legendresche Polynome 1. Art), die man für viele Reihenentwicklungen in der Geophysik wie im Geomagnetismus und in der Gravimetrie verwendet, wenn z.B. Lösungen der Laplace- bzw. der Poison-Gleichung bestimmt werden. Dabei nimmt t reelle Werte im Intervall [-1; 1] an mit t=cosθ. In ihrer Definition nach Neumann-Ferrer gilt:

KugelfunktionenDie Bezeichnung [(n-m)/2] bedeutet hierbei (n-m)/2 für gerade n-m und (n-m-1/2) für ungerade n-m. Die Definition der Pnm ist identisch mit der Formel von Rodrigues:

Kugelfunktionenwenn man (t2-1)n nach dem binomischen Satz entwickelt und (n+m) differenziert. Für m=0 erhält man die zonalen Kugelfunktionen, für m≠0 die zugeordneten. Im allgemeinen werden in der Geophysik, insbesondere im Geomagnetismus die Kugelfunktionen in der Quasinormierung nach Adolf Schmidt bevorzugt, da somit für die höheren Grade n weitgehend gleiche Grössenordnungen für die Reihenentwicklungsterme (Kugelfunktionsentwicklung-SHA) erreicht werden. Die Umrechnung der Pnm nach Neumann-Ferrer in diejenigen nach Adolf Schmidt erfolgt mit dem Normierungsfaktor:

Kugelfunktionenmit δ0m=0 für m=0 und δ0m=1 für m≠0,


so dass Pnm(t) (Adolf Schmidt)= nmPnm(t) (Neumann-Ferrer).
 
 

 

 

 
 
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