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Wirkungsbereich

 
     
  ist in der Kristallographie derart definiert: Ist P eine diskrete Punktmenge in
einem metrischen Raum R, so kann man jedem Punkt Po von P die Menge W aller Punkte p von R
zuordnen, deren Abstand zu Po kleiner ist als zu allen anderen Punkten aus P. Die Menge W heisst
der Wirkungsbereich von Po. Man konstruiert Wirkungsbereiche i.a. dadurch, dass man die mittelsenkrechten Ebenen bzw. Hyperebenen auf den Verbindungslinien von Po zu allen anderen
Punkten von P betrachtet und den Durchschnitt aller durch die Mittelsenkrechten definierten
Halbräume bildet, die Po enthalten. Aus dieser Konstruktion ergibt sich, dass Wirkungsbereiche stets konvexe Mengen sind. In vielen Anwendungsbeispielen sind sie sogar konvexe Polyeder. Eingeführt
wurde der Begriff von P.G.L. Dirichlet zur Klassifikation der binären quadratischen Formen, wobei er
die Wirkungsbereiche der ebenen Translationsgitter (Gitter) untersuchte. Daher ist der Name
Dirichlet-Bereiche synonym zum Wirkungsbereich gebräuchlich. Fortgesetzt wurde diese Arbeit durch G. Voronoi, der die Wirkungsbereiche drei- und vierdimensionaler Gitter ableitete und klassifizierte. Nach ihm werden die fünf topologischen Wirkungsbereichstypen der dreidimensionalen Gitter als Voronoi-Typen bezeichnet (Abb.). B. Delaunay führte diese Wirkungsbereichspolyeder in die Kristallographie ein und klassifizierte sie nach Symmetriegesichtspunkten.


Betrachtet man Wirkungsbereiche von Atomen in Kristallstrukturen, so kann man die Zahl und Grösse der Wirkungsbereichsflächen zur Festlegung der Koordination heranziehen. Im Rahmen der darstellungstheoretischen Behandlung der Wellenfunktionen in der Festkörperphysik wurden durch E. Wigner und F. Seitz Wirkungsbereiche als Elementarzellen im reziproken Gitter eingeführt, weshalb dort der Name Wigner-Seitz-Zelle gebräuchlich ist; ausserdem wird auch die Bezeichnung 1. Brillouin-Zone in der Festkörperphysik verwendet.


In der stochastischen Geometrie werden Wirkungsbereiche bei der Beschreibung diskreter Streuprozesse verwendet. Ein typisches Beispiel ist das Wachstum von Pilzkolonien auf einem Nährboden aus zufällig ausgestreuten Sporen. Bei gleichartigen Wachstumsbedingungen kann sich jede aus einer Spore hervorgegangene Pilzkolonie bis an die Grenze des Wirkungsbereichs ungehindert ausbreiten. Umgekehrt lässt die Verteilung der Wirkungsbereiche Schlüsse auf die Verteilung des zugrunde liegenden Streuprozesses zu. Literatur: [1] Burzlaff, H. & Zimmermann, H. (1993): Kristallsymmetrie – Kristallstruktur. – Erlangen.


[2] Hoppe, R. (1970): Die Koordinationszahl – ein „anorganisches Chamäleon”. - Angew. Chemie 82.

WirkungsbereichWirkungsbereich: hochsymmetrische Vertreter der fünf Voronoischen Polyeder.
 
 

 

 

 
 
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