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Ausgleichungsrechnung

 
     
  Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate, Rechenverfahren zur Bearbeitung von Beobachtungen, die mit zufälligen Fehlern behaftet sind, wobei die (gewichtete) Quadratsumme der Residuen (Beobachtungsverbesserungen) minimiert wird. Die Ausgleichungsrechnung wurde zu Beginn des 19. Jahrhunderts von A.M. Legendre und C.F. Gauss unabhängig voneinander gefunden. Die heute in der Geodäsie am meisten benutzte Variante ist die "Ausgleichung nach vermittelnden Beobachtungen": der funktionale Zusammenhang zwischen einer Beobachtung li und den unbekannten Parametern xk, i = 1...n, k = 1...u, wird durch die i.a. nichtlinearen Beobachtungsgleichungen li = fi(xk) hergestellt. Liegen mehr Beobachtungen als zu bestimmende Parameter vor (n > u), so sind die funktionalen Beziehungen gewöhnlich inkonsistent, weshalb gewisse Inkonsistenzparameter, die Beobachtungsverbesserungen vi, zu den Beobachtungswerten addiert werden. Um diese eindeutig zu bestimmen, wird ferner gefordert, dass die Quadratsumme der Residuen vi minimal wird:


li+vi = fi(xk),

AusgleichungsrechnungEventuelle Unterschiede in der Genauigkeit der Beobachtungen li können mittels der Beobachtungsgewichte pi und der verallgemeinerten Minimumsbedingung

Ausgleichungsrechnungberücksichtigt werden.
Im Allgemeinfall sind die Funktionen fi nichtlinear von xk abhängig. Mit Hilfe geeigneter, vorgegebener
Näherungswerte xk0 der unbekannten Parameter können die Beobachtungsgleichungen nach Taylor
linearisiert werden:


Ausgleichungsrechnung(Summation über den Index k). Fasst man die verkürzten Beobachtungen Δli zum Spaltenvektor l und die Residuen vi zum Spaltenvektor v (jeweils Dimension n), die verkürzten Parameter Δxk zum Spaltenvektor x (Dimension u < n) zusammen und berücksichtigt, dass die Ableitungen (∂fi/xk) als Elemente der Designmatrix A (Dimension n·u) und die Beobachtungsgewichte pi als Diagonalelemente der Gewichtsmatrix P (Dimension n·n) aufgefasst werden können, so gilt in Matrizenschreibweise: v = A·x-l, vT·Pv = min. Falls die Matrix P regulär und die Matrix A spaltenregulär ist, ergibt sich der Spaltenvektor der Schätzwerte Ausgleichungsrechnung
der Parameter in folgender Weise:


Ausgleichungsrechnung
= N-1*(ATP1),N =(ATPA). Die quadratische, symmetrische Matrix N der Dimension u·u bezeichnet man als Normalgleichungsmatrix. Mit der Inversen N-1 und dem aus den Beobachtungsverbesserungen v = A· Ausgleichungsrechnung
-l berechneten Schätzwert Ausgleichungsrechnung
2 =2 des Varianzfaktors Ausgleichungsrechnung
vTPv/(n-u) wird die Varianz-Kovarianzmatrix Cx der geschätzten Parameter Ausgleichungsrechnung
gebildet: Cx = Ausgleichungsrechnung
2


·N-1, aus welcher Genauigkeitsmasse für die Parameter und daraus abgeleitete Grössen berechnet werden können. Die Ausgleichungsrechnung wird in der Geodäsie intensiv bei der Auswertung geodätischer Beobachtungen, insbesondere im Rahmen der Netzausgleichung, verwendet. Erweiterungen des oben beschriebenen Konzepts betreffen die Auswertung korrelierter Beobachtungen (P ist eine voll besetzte Matrix), die Anwendung auf nicht spaltenreguläre Designmatrizen A (N ist singulär), die Berücksichtigung von linearen Bedingungen zwischen den Parametern xi, die statistische Interpretation und die Verwendung von Hypothesentests (Gauss-Markov-Modell) und die Einbeziehung von stochastischen Parametern (Kollokation).
 
 

 

 

 
 
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