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Lagegenauigkeit

 
     
  speziell von punkt- und linienförmigen Objekten. Die Lagegenauigkeit eines Einzelpunktes bzw. des geometrischen Schwerpunktes eines Punktobjektes wird gewöhnlich durch seine mittleren quadratischen Koordinatenfehler ( = Standardabweichungen) σx, σy charakterisiert. Ein gegenüber Drehungen des Koordinatensystems invariantes Genauigkeitsmass ist der mittlere Punktlagefehler σp nach Helmert (1868), definiert als Quadratwurzel aus der Spur:

Lagegenauigkeitder Kovarianzmatrix, welche die Fehlersituation vollständig beschreibt. Geometrisch kann man ihn als Radius eines (Fehler-) Kreises deuten, der die wahre Punktlage mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit überdeckt (Vertrauensbereich). Auch andere Vertrauensbereiche sind möglich (Konfidenzellipsen). Im ATKIS (DLM 25) beispielsweise wird σp ≈ 3 m im Naturmass angestrebt. Die Lagegenauigkeit von Linienobjekten wird durch sog. Fehlerbänder, welche die Linienlage mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit überdecken, charakterisiert. Konstruiert werden sie als Einhüllende der Fehlerkreise von Punkt zu Punkt. Für polygonale Linien sind sie in den Polygonpunkten (PP) am breitesten, in der Mitte zwischen den PP am schmalsten. An gekrümmten Linien ist noch ein Interpolationsfehler, der in den PP verschwindet und in Polygonseitenmitte am grössten ausfällt, zu berücksichtigen, so dass sich die resultierenden Bänder zwischen den PP aufwölben. In allen genannten Genauigkeitsmassen müssen Erfassungs-, Generalisierungs- und Kartierfehler, bezüglich digitaler Modelle auch Digitalisierfehler, beachtet werden. Ein Sonderfall ist die Bestimmung der Lagegenauigkeit von Höhenlinien. Sie kann als Umkehrung der Koppeschen Formel (Höhengenauigkeit) mit:


σL= σhcotα = b+acotα angegeben werden. Neben der Darstellungsgenauigkeit der Höhenlinien (konstanter Anteil b) beeinflusst die Geländeneigung den Lagefehler entscheidend: bereits bei α≈ 5,5º wird σL ≈ 10 σh und für α→∞ wächst σL über alle Grenzen. Dies ist auch ein Grund dafür, dass in topographischen Kartenwerken unterhalb einer vereinbarten Grenzneigung keine Höhenlinien, sondern ausgewählte Höhenpunkte dargestellt werden. Ein damit zusammenhängendes Problem ist die Vorhersagegenauigkeit von Überschwemmungsgebietsgrenzen: im abfliessenden Hochwasser ist die Hochwasserlinie eine gegen die Höhenlinien h=const schwach geneigte Raumkurve, im stehenden Hochwasser eine Höhenlinie. In flachen Flussniederungen ist daher die Vorhersage sowohl des Niveaus als auch der Grenzlinie ein überkritisches Problem. Neben den Lagefehlern können auch Richtungs- und Krümmungsfehler der Höhenlinien abgeschätzt werden. Letztere dienen vor allem zur Beurteilung der formtreuen Abbildung des Reliefs. Höhenlinien sollen konform sein, d.h. "gleichsinnig" verlaufen bzw. eine "gute Krümmungsverwandtschaft" aufweisen. Statistisch gesprochen bedeutet dies eine möglichst grosse Kreuzkorrelation zwischen den Krümmungen benachbarter Höhenlinien. Die Isolinienkrümmung steht nach dem Satz von Meusnier mit der Reliefkrümmung im Normalschnitt in Beziehung. Sofern diese Beziehung auf den Vertikalschnitt reduziert wird, kann sie auch fehlertheoretisch ausgenutzt werden. Sind z.B. Höhenlinien aus einem digitalen Höhenmodell (DHM) mit Gitterweite Δ interpoliert worden, wobei das DHM der diskreten Realisierung eines homogen-isotropen, stetig partiell differenzierbaren Zufallsfeldes mit rotationssymmetrischer Autokovarianzfunktion (AKF):

2Chh(r),r2:= Δx2+Δyentspreche, ist ihr Lagefehler σL nach Bethge (1997) gegeben durch:

LagegenauigkeitDabei bezeichnen φ die Isolinienrichtung, φ' ihre 1. Ableitung nach der Bogenlänge ( = Linienkrümmung) und:

Lagegenauigkeitden Nullwert der 4. Ableitung der AKF-Chh, identisch mit der Varianz der Relief-"Wölbung". Neben dem Diskretisierungs- bzw. Interpolationseffekt wirken sich also typische Reliefeigenschaften auf den Lagefehler der interpolierten Höhenlinien aus.
 
 

 

 

 
 
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