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Greensche Integralformeln

 
     
  Greenscher Integralsatz, wichtige Formeln zur Bestimmung des Gravitationspotentials und Grundlage zur Lösung des Geodätischen Randwertproblems. Der 1. Greensche Satz beruht auf den Annahmen, dass τ ein geschlossenes, beschränktes Gebiet im dreidimensionalen Raum ist, σ der Rand von τ und Greensche Integralformeln
der stetige Einheitsvektor der nach aussen gerichteten Normalen von σ. Seien u und w zweimal stetig differenzierbare Skalarfelder,

Greensche Integralformeln
ein stetig differenzierbares Vektorfeld mit Greensche Integralformeln
= u·gradw = u·∇w, dann ergibt sich der 1. Greensche Satz aus dem Gaussschen Integralsatz:

Greensche IntegralformelnEine weitere Form des Greenschen Integralsatzes (2. Greenscher Satz) erhält man, indem man im 1. Greenschen Satz u und w vertauscht und die so erhaltene Beziehung von der ersten subtrahiert:

Greensche IntegralformelnUnter der Voraussetzung, dass w = V das Newtonsche Gravitationspotential einer Massenbelegung ρ im Raumgebiet τ ist (wobei die Poisson-Gleichung ΔV =-4πGρ in τ gilt, u = 1/l der inverse Abstand zwischen Aufpunkt P und Quellpunkt Q (l =| '|= l(P,Q)), wobei für u die Laplace-Gleichung Δu = 0(

Greensche Integralformeln
Greensche Integralformeln

Greensche Integralformeln
') gilt), erhält man aus dem 2. Greenschen Satz eine Darstellung für das Newtonsche Gravitationspotential V( Greensche Integralformeln
) im Aufpunkt P des Aussenraumes von τ:

Greensche IntegralformelnDiese Greensche Darstellungsformel gibt das Gravitationspotential in P als Summe der Potentiale zweier Schichtbelegungen an (Einfachschicht- und Doppelschichtpotential). Die rechte Seite ist auf dem Rand σ auszuwerten, so dass die Greensche Darstellungsformel eine Grundlage für die Lösung der Geodätischen Randwertproblems bereitstellt.


MScher Integralsatz, wichtige Formeln zur Bestimmung des Gravitationspotentials und Grundlage zur Lösung des Geodätischen Randwertproblems. Der 1. Greensche Satz beruht auf den Annahmen, dass τ ein geschlossenes, beschränktes Gebiet im dreidimensionalen Raum ist, σ der Rand von τ und Greensche Integralformeln
der stetige Einheitsvektor der nach aussen gerichteten Normalen von σ. Seien u und w zweimal stetig differenzierbare Skalarfelder,

Greensche Integralformeln
ein stetig differenzierbares Vektorfeld mit Greensche Integralformeln
= u·gradw = u·∇w, dann ergibt sich der 1. Greensche Satz aus dem Gaussschen Integralsatz:

Greensche IntegralformelnEine weitere Form des Greenschen Integralsatzes (2. Greenscher Satz) erhält man, indem man im 1. Greenschen Satz u und w vertauscht und die so erhaltene Beziehung von der ersten subtrahiert:

Greensche IntegralformelnUnter der Voraussetzung, dass w = V das Newtonsche Gravitationspotential einer Massenbelegung ρ im Raumgebiet τ ist (wobei die Poisson-Gleichung ΔV =-4πGρ in τ gilt, u = 1/l der inverse Abstand zwischen Aufpunkt P und Quellpunkt Q (l =| '|= l(P,Q)), wobei für u die Laplace-Gleichung Δu = 0(

Greensche Integralformeln
Greensche Integralformeln

Greensche Integralformeln
') gilt), erhält man aus dem 2. Greenschen Satz eine Darstellung für das Newtonsche Gravitationspotential V( Greensche Integralformeln
) im Aufpunkt P des Aussenraumes von τ:

Greensche IntegralformelnDiese Greensche Darstellungsformel gibt das Gravitationspotential in P als Summe der Potentiale zweier Schichtbelegungen an (Einfachschicht- und Doppelschichtpotential). Die rechte Seite ist auf dem Rand σ auszuwerten, so dass die Greensche Darstellungsformel eine Grundlage für die Lösung der Geodätischen Randwertproblems bereitstellt.


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