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Gaussscher Integralsatz

 
     
  Gaussscher Satz, Integralsatz von Gauss-Ostrogradski, Spezialfall des allgemeinen Stokesschen Satzes. Dabei ist τ ein geschlossenes, beschränktes Gebiet im dreidimensionalen euklidischen Raum, σ der Rand von τ,


Gaussscher Integralsatz
der stetige Einheitsvektor der nach aussen gerichteten Normalen von σ und Gaussscher Integralsatz
ein stetig differenzierbares Vektorfeld.


Der Gausssche Integralsatz leistet die Umwandlung eines Volumenintegrals in ein Flächenintegral:

Gaussscher IntegralsatzEine einfache hydrodynamische Interpretation ergibt sich, wenn man Gaussscher Integralsatz
als Geschwindigkeitsfeld einer strömenden Flüssigkeit versteht. Das Volumenintegral gibt dann die Ergiebigkeit im Raumgebiet τ an. Das Flächenintegral misst den Fluss über die Begrenzungsfläche σ. Ist Gaussscher Integralsatz
quellenfrei, also div Gaussscher Integralsatz
= 0, so verschwindet das Flächenintegral, es fliesst durch σ keine Masse ab. Aus dem Gaussschen Integralsatz erhält man eine koordinatenfreie Darstellung der Divergenz, also der Quelldichte im Punkt P, indem das Gebiet τ, indem P liegt, auf P zusammengezogen wird:

Gaussscher IntegralsatzMSc
 
 

 

 

 
 
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