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Paralleloeder

 
     
  Parallelflächner, konvexe Polyeder, die bei paralleler Anordnung den Raum lückenlos füllen. Diese Polyeder sind stets zentrosymmetrisch und haben paarweise parallele kongruente Seitenflächen. Wie der russische Mineraloge und Kristallograph E.S. v. Fedorov als erster zeigte, gibt es fünf topologisch verschiedene Typen von Paralleloedern (Abb.). Die Paralleloeder sind die Wirkungsbereiche von Punkten in dreidimensionalen Punktgittern. Sie bestehen aus allen Punkten des Raums, deren Abstand zu einem vorgegebenen Gitterpunkt kleiner oder gleich gross ist wie zu einem beliebigen anderen Gitterpunkt. Ebenfalls bekannt sind die Wirkungsbereiche auch unter den Namen Dirichlet-Bereiche, Voronoi-Polyeder oder Wigner-Seitz-Zellen bekannt. Der Wirkungsbereich eines jeden anderen Gitters ist einem der fünf Paralleloeder topologisch (und sogar affin) äquivalent, so zum Beispiel der Bereich des tetragonal innenzentrierten Gitters für c/a <√2 dem abgestumpften Oktaeder (Tab.).

ParalleloederParalleloeder: die fünf topologisch verschiedenen Typen von Paralleloedern (von links nach rechts): Würfel, Rhombendodekaeder, abgestumpftes Oktaeder, gestrecktes Dodekaeder, hexagonales Prisma (mit Pinakoidflächen).

ParalleloederParalleloeder (Tab.): Wirkungsbereiche wichtiger Gitter.
 
 

 

 

 
 
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