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Kugelflächenfunktionen

 
     
  vollständiges Orthogonalsystem im Hilbertraum der auf der Einheitskugel definierten Funktionen. Die Kugelflächenfunktionen der Grade n und der Ordnungen m (σ,σ'∈{c,s}) genügen den folgenden Orthogonalitätsrelationen:

KugelflächenfunktionenSie ergeben sich als Produkte der Legendreschen Funktionen Pnm (cosθ) vom Grad n und der Ordnung m und der trigonometrischen Funktionen sinmλ und cosmλ:

KugelflächenfunktionenMit Hilfe der Kugelflächenfunktionen kann eine weitgehend beliebige auf der Einheitskugel definierte Funktion f(θ,λ) dargestellt werden:

KugelflächenfunktionenDie Reihenkoeffizienten ergeben sich aus den Oberflächenintegralen:

KugelflächenfunktionenZumeist verwendet man die numerisch vorteilhafteren, vollständig normierten Kugelflächenfunktionen und vollständig normierten Reihenkoeffizienten. Sie können mit Hilfe eines Normierungsfaktors aus den nicht normierten Grössen berechnet werden:

KugelflächenfunktionenDer Normierungsfaktor αnm errechnet sich aus:

KugelflächenfunktionenAbhängig vom Grad n und der Ordnung m der Kugelflächenfunktionen ergeben sich unterschiedliche Nullstellen und damit unterschiedliche charakteristische Strukturen auf der Einheitskugel (Tab.). Man unterscheidet zonale, tesserale und sektorielle Kugelflächenfunktionen. Beispiele verschiedener Kugelflächenfunktionen sind in der Abb. gegeben.

KugelflächenfunktionenKugelflächenfunktionen (Tab.): Eigenschaften der zonalen, tesseralen und sektoriellen Kugelflächenfunktionen.

KugelflächenfunktionenKugelflächenfunktionen: Beispiele zonaler, tesseraler und sektorieller Kugelflächenfunktionen (überhöhte Funktionswerte unterschiedlichen Massstabes).
 
 

 

 

 
 
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