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Fourierreihe, Entwicklung einer periodischen Funktion in ein trigonometrisches Polynom. Eine periodische Funktion der Periode 2L lässt sich in eine Summe harmonischer Wellen mit diskreten Frequenzen
 entwickeln, wenn sie die Dirichlet-Bedingungen erfüllt, die ein hinreichendes, aber nicht notwendiges Kriterium für die Darstellbarkeit einer periodischen Funktion als Fourierreihe sind: a) f(x) ist in jedem Punkt des Intervalls -L ≤ x ≤ +L definiert; b) f(x) ist eindeutig, endlich und stückweise glatt; c) f(x) hat eine endliche Zahl Extrema in diesem Bereich.
Das trigonometrische Polynom konvergiert an allen Stetigkeitsstellen gegen den Funktionswert f(x). An Unstetigkeitsstellen nimmt es das arithmetische Mittel aus links- und rechtsseitigem Grenzwert an. Die Koeffizienten an und bn erhält man durch Integration:
 Mit den Beziehungen
 zwischen Sinus-, Cosinus- und Exponentialfunktion folgt die äquivalente Darstellung in komplexer Schreibweise:
 mit Fourierkoeffizienten
 bzw.
 In drei Dimensionen lautet die Fourierreihe
 mit Koeffizienten
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