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Dreibein

 
     
  geordnete Menge von drei linear unabhängigen, nicht notwendigerweise normierten Vektoren, welche eine Basis des dreidimensionalen reellen Raumes Dreibein
3 definieren. Der Ursprung des Dreibeins kann entweder raumfest (festes Dreibein) sein oder sich längs einer Kurve oder auf einer Fläche bewegen (bewegtes Dreibein). Für die Geodäsie von besonderer Bedeutung sind das Frenetsche Dreibein ( Dreibein
1, Dreibein
2, Dreibein
3) einer Raumkurve:

Dreibein1 = Dreibein
', Dreibein
2 = Dreibein
''/| Dreibein
''|,


Dreibein
3 = Dreibein
1× Dreibein
2


( Dreibein
' als Ableitung des Ortsvektors Dreibein
nach der Bogenlänge s,


Dreibein
'' als zweite Ableitung), das Darbouxsche Dreibein ( Dreibein
1, Dreibein
2, Dreibein
3) einer Flächenkurve:


Dreibein
1 = Dreibein
',


Dreibein
3 =Dreibein
,


Dreibein
2 = Dreibein
3× Dreibein
1


und das Gausssche Dreibein ( Dreibein
1, Dreibein
2, Dreibein
3) einer Fläche:


Dreibein
1 = ∂ Dreibein
/∂u,


Dreibein
2 = ∂ Dreibein
/∂v,


Dreibein
=( Dreibein
1× Dreibein
2)/| Dreibein
1× Dreibein
2|.


3 =

DreibeinDreibein
bezeichnet den Einheitsvektor in Richtung der äusseren Flächennormale. Die Einheitsvektoren des Frenetschen Dreibeins Dreibein
1 (Tangentenvektor), Dreibein
2 (Hauptnormalenvektor) und Dreibein
3 (Binormalenvektor) stehen paarweise aufeinander senkrecht und bilden ein Orthonormalsystem. Das Darbouxsche Dreibein Dreibein
1, Dreibein
2, Dreibein
3 bildet ebenfalls ein Orthonormalsystem, das aber wegen Dreibein
an die Fläche3 =

Dreibeingebunden ist. Im Gegensatz dazu ist das Gausssche Dreibein Dreibein
1, Dreibein
2, Dreibein
3 in der Regel weder orthogonal noch normiert; lediglich der Einheitsvektor Dreibein
3 =Dreibein
steht senkrecht auf Dreibein
1 und Dreibein
2.
 
 

 

 

 
 
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