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Wärmeleitungsgleichung

 
     
  Grundlage für alle Wärmeleitungsvorgänge ist das Fouriersche
Gesetz der Wärmeleitung. Danach ist die Wärmemenge Q, die durch eine planparallele Platte mit der
Dicke h fliesst: Q=-λAt(T2-T1)/h.
T2-T1 ist die Temperaturdifferenz zwischen den beiden Grenzflächen der Platte, A ist die Fläche der
Platte und t die Zeit, während der die Wärme fliesst. λ ist ein Proportionalitätsfaktor, der die
Stoffeigenschaften des Materials charakterisiert, durch das die Wärme strömt und der als
Wärmeleitfähigkeit bezeichnet wird. Der Quotient (T2-T1)/h wird als Temperaturgradient bezeichnet.
Ist dieser Temperaturgradient von Null verschieden, so bildet sich eine Wärmeströmung aus. Die Wärmemenge, die pro Zeiteinheit und Flächeneinheit strömt, wird als Wärmestromdichte q
bezeichnet:
q=-λ dT/dh.
Die Wärmestromdichte q ist ein Vektor, es gibt also eine Wärmestromdichte in x-, y- und z-Richtung. Da die Gesteine in der Erde in der Regel anisotrop sind, zeigt die Wärmeleitfähigkeit ebenfalls eine
Richtungsabhängigkeit (die Wärmeleitfähigkeit ist ein Tensor). In der Geothermik wird nur die
vertikale Komponente der Wärmestromdichte in z-Richtung betrachtet. Es gilt also: q=qz dT/dz=λzzΓ,


=λzzΓ=geothermischer Gradient. Die Wärmeleitfähigkeit muss also in z-Richtung gemessen werden, auch
wenn die Gesteinsschichten in der Natur schräg gestellt sind. Unter Beachtung, dass in dem
Volumenelement, durch das die Wärme strömt, die gespeicherte thermische Energie gleich ρc ∂T/∂t
ist (ρ=Gesteinsdichte, c=spezifische Wärme) und in dem Volumenelement eine Wärmequelle (oder
auch Wärmesenke) H vorhanden ist, erhält man die Fouriersche Differentialgleichung der
Wärmeleitung. Sie lautet für ein dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem: ∂T/∂t=aΔT+H/ρc.
Der Proportionalitätsfaktor a=λ/ρc ist die thermische Diffusivität. Δ ist der Laplaceoperator ∂2/∂x2+∂2/∂y2+∂2/∂z2. H ist die Wärme, die in dem betrachteten Volumenelement in der Zeiteinheit produziert wird (spezifische Wärmeproduktion, Wärmeproduktionsrate). ∂T/∂t bedeutet, dass zeitliche Änderungen der Temperatur auftreten, man spricht daher von einem instationären Temperaturfeld. Bei der Betrachtung von Temperaturfeldern in der Erde wird jedoch in der Regel davon ausgegangen, dass stationäre Temperaturfelder vorhanden sind. In diesem Fall gilt ∂T/∂t=0. Wird auch die Wärmeproduktion H vernachlässigt, so vereinfacht sich die Fouriersche Differentialgleichung zu der Laplaceschen Differentialgleichung ΔT=0.
 
 

 

 

 
 
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